Лекция 2. Числовая последовательность. Главная страница сайта Об авторах сайта Контакты сайта

Лекция 2. Числовая последовательность.


.

Лекция 2. Числовая последовательность.

ПАРАГРАФ 1. Понятие числовой последовательности.

Опр1. Если каждому числу n из натурального ряда чисел (1, 2, 3,…,n) поставлено в соответствие действительное число xn, то множество действительных чисел х1, х2,…,хn называются числовой последовательностью или просто последовательностью. При этом х1, х2,…,хn называются элементами (последовательностью). Символ Хn общим элементом(общим членом), n-номер общего элемента. Последовательность обозначают символом {xn}.

Замечание. Любая числовая последовательность содержит бесконечное множество элементов, среди которых могут быть равные.

Опр2. Последовательность {xn} называется ограниченной, если сущ-т число М>0

, такое что для любого n выполняется нер-во |xn|

Опр3. Последовательность {xn} наз-ся неограниченной, если для любого M>0 сущ-т n такое, что |xn|>Mn.

Опр4. Последовательность {xn} называется возрастающей (неубывающей), если xn≤xn+1 для любого n, строговозрастающей xnxn+1, монотонной, ели она возрастающая или убывающая.

ПАРАГРАФ 2. предел числовой последовательности.

Опр5. Интервал (а-ε,а+ε)= {x| |х-а|0 называется εокрестостью точки а.

Опр6. Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого ε>0 существует N, зависящее от ε, ткое, что для любого n>N выполняется неравенство |xn-a|<ε. При этом пишут limxn=a bkb xn→a при n→∞.

Опр7. Если последовательность {xn} имеет предел, то она наз-ся сходящейся, а еси не имеет, то расходящейся.

Замечание! Последовательность может иметь только один предел.

Геометрический смысл предела последовательности.

Геометрическое место точек Х, удовлетворяющее нер-ву |х-а| выполнение нер-ва |хn-а|N геометрически означает, что все элементы последовательности {xn}, начиная с элемента xn+1 будут находиться в пределах ε- окрестности (.) а.

Замечание! Если ε уменьшается, то ε- окрестность (а-ε,а+ε) сужается, а значит числоn увеличивается, поэтому для всевозможных значений ε нельзя указать единственное число N. Оно зависит от конкретного значенияε, поэтому пишут N=N(ε).

Опр8. Целой частью числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее данное число х, обозначают {x}.

Свойство целой части числа. [x]+1>x

ПАРАГРАФ 3. Теоремы о пределах числовой последовательности.

Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Теорема 2. Монотонная и ограниченная последовательности имеют предел.

Теорема 3. Если limxn=a, limyn=b и xn ≤yn для л n, то a ≤b.

Теорема 4. Если limxn=a, Limyn=a и xn ≤zn ≤yn для л n, то limzn=a.

Теорема 5. Пусть limxn=a, limyn=b, тогда 1.Lim(xn±yn)=a±b 2. lim(xn*yn)=ab

3. lim(xn/yn)=a/b, b≠0.

Опр9. Числом е наз-ся lim(1+1/n)ⁿ=e. Замечание. Число е – иррациональное и ≈2.71828.

Опр10. Логарифмы с основанием е наз-ся натуральными и обозначаются logx=lnx.

Лекция 3. Функция.

ПАРАГРАФ 1. Понятие функции.



Опр1. Постоянной величиной наз-ся величина, сохраняющая одно и то же значение.

Опр2. Переменной величиной или просто переменной наз-ся величина, которая может принимать различные числовые значения.

Опр3. Пусть Х и У некоторые числовые множества, если каждому элементу х Х поставлен в соответствие единственный элемент у У, то говорят, что на множестве Х задана функция у=f(x), при этом х наз-ся независимой переменной или аргументом, у- зависимой переменной, а f – обозначает закон соответствия.

Замечание. Для ф-ии так же используют и другие обозначения: у=F(x), у=φ(х), у=у(х) и т.д.

Опр4. Пусть на множестве Х задана ф-ия у=f(x), тогда мн-во Х наз-ся областью определения или областью существования ф-ии у=f(x) и обозначается символом D(f) или D(y), при этом мн-во Е(f)=f(x) наз-ся областью значений ф-ии.

Замечание! Если мн-во Х специально не оговорено, то под ООФ подразумевается область допустимых значений независимой переменной х, то есть мн-во таких значений х, при которых ф-ия у=f(x) вообще имеет смысл.

Опр5. Значение ф-ии y=f(x) при х=а а D(f) наз-ся частным значением ф-ии и обозначается f(a).

Опр6. Графиком ф-ии y=f(x) наз-ся множество точек (х,у) плоскости, абсциссой которых есть значение аргумента, а ординаты-соответствующие им значения ф-ии

ПАРАГРАФ 2. Способы задания ф-ии.

Существует несколько способов задания ф-ии:

1. аналитический способ состоит в том, что ф-ия задается формудой вида y=f(x). Этот способ чаще всего встречается на практике.

2. Табличный способ. Состоит в том, что ф-ия задается таблицей, содержащей значение аргумента и соответствующее значение ф-ии.

3. Графический способ состоит в том, что соответствие между аргументом и ф-ией устанавливается с помощью графика.

ПАРАГРАФ 3. Основные свойства функции.

Опр7. Ф-ия y=f(x) наз-ся четной, если f(x)=f(-x) для л х D(f), нечетной, если f(-x)=- f(x) для л х D(f).

Опр8. Ф-ия y=f(x) наз-ся периодической с периодом Т≠0, если f(x+t)=f(x).

Загрузка...

Опр9. Ф-ия y=f(x) наз-ся возрастающей(убывающей) на пром-ке Х, если на этом пр-ке большему значению аргументу соответствует большее(м) значение ф-ии.

Опр10. Ф-ии, возрастающие и убывающие наз-ся монотонными ф-ми.

Опр11. Ф-ия y=f(x) наз-ся ограниченной на пр Х, если сущ число М>0 : |f(x)|≤M для л х Х.

ПАРАГРАФ 4. Классификация ф-ий.

Опр12. Ф-ия y=f(x) наз-ся явной, если она задана формулой, в кот правая часть не содержит зависимой переменной.

Опр13. Ф-ия у от аргумента х наз-ся неявной, если она задана ур-ем F(x,y)=0 не разрешенным относительно зависимой переменной.

Опр14. Ф-ия у от аргумента х, заданная посредством цепи из двух ф-ий y=f(u), u=φ(x) наз-ся ф-ей от ф-ии или сложной ф-ей и записывается сл образом y=f[φ(x)]. Переменная u при этом наз-ся промежуточной переменной.

Лекция 4. Предел функции.

ПАРАГРАФ 1. Понятие предела ф-ии.

Опр1! Число А наз-ся пределом ф-ии f(x) при x→a или в (.) а , если для любого числа ε>0 сущ число δ>0 : для всех х удовл усл 0<|x-a|<δ (1) выполняется нер-во |f(x)-A|<ε (2). При этом пишут: limf(x)=A или f(x)→A при x→a.

Замечание! С помощью логич символов данное определение имеет вид Limf(x)=A ó ұε>0 сущ δ>0 : ұx : 0<|x-a||f(x)-A|<ε.

Геометрический смысл предела функции.

Неравенство (1) означает, что (.) х≠а и х (а-δ,а+δ), т.е.δ окрестности (.) а на оси Ох. Неравенство (2) означает, что соответствующие значения ф-ии f(x) (A-ε,A+ε), т.е. ε-окрестности точки А на оси Оу. Следовательно, точки Р графика ф-ии у=f(x) лежат в полосе шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А-ε и у=А+ε для люб х (а-δ,а+δ), х≠а.

Замечание! Для сущ предела ф-ии f(x) в (.) а не требуется, чтобы ф-ия была определена в самой точке а.

Опр2. Число А наз-ся пределом ф-ии f(x) при х→∞, если ұ ε>0 сущ М>0: ұ х удовл усл |x|>M => вып нер-во |f(x)-A|<ε, при этом пишут limf(x)=a.

Замечание. Геометрически данное опр-е означает, что график ф-ии у=f(x) начиная с некоторого места будет челиком лежать внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А-ε и у=А+ε.

Односторонние пределы ф-ии.

Иногда приходится рассматривать вопрос о пределе ф-ии f(x) когда х может принимать не все значения, достаточные близкие к (.) а, а только большему, чем а, или только меньшие, чем а. Если xa и x→a, то пишут х→а+0(справа).

Опр3.Если сущ числа f(a-0)=limf(x) и f(a+0)=limf(x), то они наз-ся соответственно левым и правым пределом либо пределом слева и пределом справа ф-и f(x) в (.) а.

Теорема 1! Число А является пределом ф-ии f(x) в (.) х=а óв этой (.) сущ, равны между собой и числу А односторонние пределы: limf(x)=A ó limf(x)=limf(x)=A.

Следствие. Если в (.) а ф-ия имеет различные односторонние пределы или хотя бы один из них не сущ-т, то не сущ-т и предел ф-ии в (.) а.

ПАРАГРАФ 2. Бесконечно малые и бесконечно большие ф-ии.

Опр4. Ф-ия α(ч) наз-ся бесконечно малой(БМ) при х→а(или х→∞) если limα(x)=0(limα(x)=0)

Замечание: БМ ф-ию также называют БМ величиной или БМ.

Св-ва БМ:

1.∑ конечного числа БМ есть БМ.

2.Произведение -||-||-.

3. Произведение БМ на ограниченную ф-ию есть БМ.

Опр5. Ф-ия у=f(x) наз-ся бесконечно большой(ББ) при х→а, если для любого числа ε>0 с ч δ>0 :ұx 0<|x-a|ε. При этом пишутlimf(x)=∞

Опр6. Ф-ия у=f(x) наз-ся бесконечно большой(ББ) при х→∞, если для любого числа ε>0 с ч М>0 :ұx |x |ε. При этом пишутlimf(x)=∞

Теорема 2. Если ф-ия α(ч) есть БМ при х→а, то ф-ия 1/α(х) будет явл-ся ББ при х→а и наоборот.

Свойства ББ.

1.∑ двух ББ ф-ий есть ББ ф-ия.

2.∑ББ и ограничен ф-ии есть ББ ф-ия.

3. Произведение двух ББ ф-ий есть ББ ф-ия.

Замечательные пределы.

1. limsinx/x=1 первый замечательный предел.

2. lim(1+1/x) =e или lim(1+x) =e второй замечательный предел.

ПАРАГРАФ 3. Основные теоремы о пределах.

Теорема 3. Ф-ия f(x) не может иметь более одного предела при х→а.

Теорема 4. Если сущ(конечные) пределы limf(x)=A, limφ(x)=B, то 1. lim [f(x)± φ(x)]=A±B 2. lim [f(x) φ(x)]=AB 3. lim [f(x)/ φ(x)]=A/B, B≠0.

Теорема 5. Если limf(x)=A, limφ(x)=B и f(x)≤ φ(x) в нек окрестности а, то А≤В.

Теорема 6. Пусть в нек окрестности (.) а выполн нер-во φ(x)≤f(x)≤g(x) и при этом limg(x)= limφ(x)=A, тогда limf(x)=A.

Теорема 7. Ф-ия f(x) имеющая предел в (.) а явл ограниченной в нек окрест (.) а.

Лекция 5. Непрерывность функции.

ПАРАГРАФ 1. Понятие непрерывности ф-ии.

Опр1. Ф-ия у=f(x) наз-ся непрерывной в (.) х0 если: 1. она определена в нек окр (.) а. 2. сущ limf(x). 3. limf(x)=f(x0)

Замечание! Поскольку limf(x)=f(x0), то условие3 в опр1 можно записать в виде limf(x)=f(limx), т.е. для непрер ф-ий символы lim и f можно переставлять местами.

Опр2. Пусть ф-ия у=f(x) определена на промежутке Х и (.) х, х0 Х, тогда разность ∆х=х-х0 наз-ся приращением аргумента в (.) х0, а разность ∆у=f(x)-f(x0)=f(x0-∆x)-f(x0) наз-ся приращением ф-ии в (.) х0.

Опр3.(эквивалентное опр непрерывности) Ф-ия у=f(x) наз-ся непрерывной в (.) х0 если: 1. она определена в нек окр (.) а. 2. БМ приращ аргумента соответствует БМ приращение ф-ии, т.е. lim∆y=0

Свойство ф-ий, непрерывных в точке.

Теорема 1. Если ф-ии f(x) и φ(x) непрерыв в (.) х0, то в этой точке будут непрерыв и ф-ии f(x) ±и φ(x), f(x)*φ(x), f(x)/φ(x) (φ(x)≠0).

Теорема 2. (о непрерыв сложной ф-ии) Если ф-ия u= φ(x) непрерывна в (.) х0, а ф-ия у=f(x) непрерывна в (.) u0= φ(x0), то сложн ф-ия у=f[φ(x)] непрерывна в (.) х0.

Опр4. Ф-ия у=f(x) наз. непрерывной на пром Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Свойства ф-ии, непрерывной на отрезке.

Теорема 3. (об ограниченности ф-ии) Если ф-ия f(x) непрерывна на отр АВ f(x)=[a,b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. с ч М>0 : |f(x) |≤М ұx [a,b].

Теорема 4. (о наибольшем и наименьшем значении) если ф-ия f(x) неперерывна на отрезке [а, в], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и своего наименьшего значений, т.е. сущ (.) х1, х2 [a,b] : f(x1)≤f(x)≤f(x2)

Теорема 5. (о переходе через 0) Если f(x) непрерывна на [a,b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри этого отрезка обязательно найдется хотя бы одна (.) с : f(с)=0.

Теорема 6. (о промежуточном значении) Если f(x)= [a,b] и на его концах принимает не равные значения f(a)≠f(b), то каково бы ни было С, заключенное между значениями f(a) и f(b) найдется (.) с [a,b]: f(c)=C.

Теорема 7. Все элементарные ф-ии непрерывны в области их определения.

Замечание Элементарные ф-ии: степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические(осн Эл ф-ии). А так же ф-ии, построенные из них с помощью конечного числа арифм операций и конечного числа операций образования сложной ф-ии.

Точки разрыва ф-ии.

Опр5. (.) х0 наз-ся точкой разрыва ф-ии f(x), если эта ф-ия в данной точке не является непрерывной.

Опр6. Если (.) х0 явл-ся (.) разрыва ф-ии f(x) и в этой (.) сущ-т конечные односторонние пределы f(x0-0) f(х0+0), то (.) х0 наз-ся точкой разрыва первого рода.

(.) разрыва I рода делятся на:

1. (.) устранимого разрыва, если левый предел точки совпадает с правым.

2. Точки скачка, если f(x0-0)≠f(х0+0), при этом f(x0-0)-f(х0+0) наз-ся скачком ф-ии в (.) х0.

Опр1. (.) разрыва х0 наз-ся точкой разрыва II рода, если в этой (.) точке хотя бы один из односторонних пределов равен ∞ либо вовсе не сущ.

Теорема 8! Ф-ия f(x) непрерывна в (.) х0 ó f(x0)=f(x0-0)=f(х0+0)

Лекция 6. Производная ф-ии.

ПАРАГРАФ 1. Производная и её геометрический смысл.

Опр1. Производная ф-ии f(x) в (.) х0 наз-ся предел отношения приращения ф-ии ∆у к приращения аргумента ∆x, когда последнее стремится к 0, т.е. у’' =lim∆у/∆x или f’(x0)=lim f(x0-∆x)-f(x0)/ ∆x.

Замечание! Для обозначения производной наряду с символами Лагранжа

Используют символи Лейбница . Иногда также пишут .

Замечание: Производная есть скорость изменения ф-ии в точке.

Опр2. Ф-ия f(x) наз-ся дифференцируемой в (.) х0, если в этой точке они имеет конечную производную, а сам процесс отыскания производной наз-ся дифференцированием ф-ии.

Теорема 1. Если ф-ия дифференцируема в нек (.), то она непрерывна в этой точке.

Замечание. Для одной и той же ф-ии f(x) производную можно вычислять в разл (.), поэтому производная также явл ф-ей от х.

Геометрический смысл производной.

Производная f’(x) есть угловой коэффициент касательной, проведенной к графику ф-ии у= f(x) в (.) (х0, f(x0)). K=tgφ=f’(x0). Из геометрического смысла производной получают следующее уравнение касательной к кривой у= f(x) в (.) М0(х0,у0) у-у0=f’(x0)*(x-x0)

Теорема 3! (производная сложной ф-ии) Если у= f(u) и u=φ(x) дифференцируемые ф-ии своих аргументов, то производная сложной ф-ии у= f(φ(x)) существует и равна y’=y’ u’ или dt/dx=dy/du*du/dx.

Замечание. Теорема верна, если ф-ия состоит не из двух, а любого другого конечного числа ф-ий.

Логарифмическое дифференцирование.

Опр3. логарифмической производной ф-ии у= f(x) наз-ся производная от log этой ф-ии, т.е. (lgy)’=y’/y=f’(x)/f(x)

Пусть нам дана степенно-показ ф-ия y=u, где u=u(x), v=v(x) дифференц ф-ии от х, причем u(x)>0. Вычислим производную данной ф-ии. Логарифмируем, получим lny=ln(u ) или lny=vlnu. Продифференцируем обе части полученного равенства по х (lny)’=(vlnu)’ y’/y=v’lnu+vu’/u, отсюда y’=y(v’lnu+vu’/u) или окончательно y’=u [v’lnu+vu’/u].

Опр4. Ф-ия х=φ(у) наз-ся обратной ф-ии у= f(x) , если f(φ(у))=у или φ(f(x))=х.

Теорема 4. Если для дифференцируемой ф-ии у= f(x) сущ обратная ф-ия х=φ(у), то и производные связаны соотношением х’ =1/y’ или dx/dy=1/dy/dx.

Производная в неявной ф-ии.

Если зависимость между ф-ей у и аргументом х задана неявно уравнением F(x,y)=0, то для нахождения производной y’=y’ необходимо:

1.продифферен по х обе части ур-ия F(x,y)=0, учитывая, что у есть ф-ия от х.

2.решить полученное ур-ие относительно у’.

Лекция 7. Дифференциал ф-ии.

ПАРАГРАФ 1. понятие дифференциала ф-ии.

Опр1! Если ф-ия у= f(x) дифференцируема в (.) х, то главная часть приращения ф-ии в этой точке линейна относительно приращения аргумента, называется дифференциалом ф-ии в этой точке и обозначается символом dy или df(x).

Замечание. Термин «дифференциал» происходит от лат слова «differentia» означающего «разность».

Опр2. Дифференциал независимой переменной наз-ся приращением ∆x : dx= ∆x.

Замечание. Такое опр согласуется с тем, что дифференциал ф-ии равен ∆x : у=х => ∆у= f(x+∆x)-f(x)= x+∆x-x= ∆x.

Теорема 1! Дифференциал ф-ии у= f(x) в (.) х равен произведению её производной в этой (.) на дифференциал независимой переменной. dy=f’(x)dx(основная формула для дифференцирования).

ПАРАГРАФ 2.Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциал ф-ии в (.) х равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику ф-ии в (.) М(х.у), тогда аргумент получает приращение ∆x.

ПАРАГРАФ 3. Свойство дифференциала ф-ии.

Теорема 3. (инвариантность формы дифференциала). Формула dy=y’ du справедлива независима от того, является ли аргумент U независимой переменной или функцией другого аргумента.

ПАРАГРАФ 4. Применение дифференциала для приближенных вычислений.

Если приращение аргумента ∆x мало по абсолютной величине, то в этом случае приращение ф-ии приближенно равно её дифференциалу, т.е. ∆у≈dy или f(x+∆x)-f(x)≈f’(x)dx отсюда, учитывая, что dx=∆x окончательно получаем: f(x+∆x)=f(x)+ f’(x)dx(формкла для приближенных вычислений).

ПАРАГРАФ 5. производные и дифференциалы высших порядков.

Опр3. Производная f’(x) наз-ся производной первого порядка. Производная от производной f’(x) наз-ся производной второго порядка или второй производной от ф-ии у= f(x) и обозначается одним из символов y’’, d² /dx², d² f(x)/dx², y’’=(y’)’ или d² /dx²=d /dx (dy/dx).

Опр4. Производной n- го порядка или n-ой производной от ф-ии у= f(x) называется производная от её производной (n-1)го порядка:

Замечание. Порядок производной в символах Лагранжа берется в скобки, чтобы его нельзя было спутать с показателем степени. Левая часть в символах Лейбница читается так «d n y по d n x».

Опр5. Производные, начиная со второй наз-ся производными высшего порядка.

Опр6. дифференциал dy наз-ся дифференциалом первого порядка или первым дифференциалом. Дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом ф-ии y= f(x) наз-ся дифференциал отеё первого дифференциала d² =d(dy).

Опр7. Дифференциалом n-го порядка равен произведению производной n-го порядка на n-ую степень дифференциала независимой переменной d =f (x)dx .

Замечание. Символы dx , dx,… следует понимать как степень то дифференциала

ПАРАГРАФ 6. производная ф-ий, заданных параметрически.

Теорема 5. Если зависимость между ф-ей у и аргументом х задана по средствам параметра t параметрическими уравнениями x=φ(t), y=ψ(t), t0≤t≤t1, то y’ =y’ /x’ или dy/dt/dx/dt. При условии, что производные справа существуют.

Лекция 8. Приложения производной.

ПАРАГРАФ 1. Основные теоремы дифференциального счисления.

Теорема Ролля. Пусть ф-ия f(x) удов условиям: 1. Непрерывна на [a,b].

2. Дифференцируема в интервале (a,b). 3. На концах отрезка принимает равные значения. f(a)=f(b) Тогда сущ с (а,в) : f’(c)=0.

Теорема Лагранжа. Пусть ф-ия f(x) удов условиям: 1. Непрерывна на [a,b].

2. Дифференцируема в интервале (a,b). Тогда сущ с (а, в) : справедл ф-ла f(b)-f(a)/b-a=f’(c) формула конечных приращений. (формула Лагранжа).

Замечание. Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа, если положить f(a)=f(b).

Теорема Коши. Пусть ф-ия f(x) удовл условиям: 1. Непрерывна на [a,b].

2. Дифференцируема в интервале (a,b). 3. φ’(x)≠0 ұ x (a,b) : справед ф-ла f(в)-f(а)/φ(в)-φ(а)=f’(c)/φ’(c). (формула Коши)

Замечание: теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши, если положить , что φ(х)=х.

ПАРАГРАФ 2. Правило Лопиталя.

Опр1. Если limφ(x)=limg(x)=0(либо ∞), то говорят , что в (.) а ф-ия f(x)= φ(x)/g(x) имеет неопределенность вида 0/0(либо ∞/∞). Замечание! Другие виды неопределенностей ∞0;∞-∞;0;∞;1 определяются аналогично.

Опр2. Вычисление пределов ф-ий в (.) их неопред наз-ся раскрытием неопределенностей.

Теорема 4. (правило Лопиталя)!!! Предел отношения двух БМ или ББ ф-ий равен пределу отношения их производных, если последний сущ-т, т.е. если limf(x)= limφ(x)=0 (либо ∞), то limf(x)/φ(x)= limf’(x)/φ’(x) если предел справа сущ-т, при этом а может быть как числом, так и ∞.

Замечание!!! Правило Лопиталя применяется только для раскрытия неопределенностей вида 0/0(∞/∞), а неопр вида ∞0;∞-∞;0;∞;1 сначала с помощью тождественных преобразований сводятся к основным видам неопределенностей 0/0(∞/∞), а уже затем раскрываются с помощью правила Лопиталя.

Замечание! Иногда правило Лопиталя приходится применять несколько раз, т.е. переходить к пределу отношения вторых производных, третьих и т.д.

Замечание! Для раскрытия степенных неопределенностей 0;∞;1 применяются взаимообратные преобразования логарифмирование - потенцирование (а=е ).

ПАРАГРАФ 3. Возрастание и убывание ф-ии.

Теорема 5. (достат условие возрастания (убывания) ф-ии) Если произ дифференцируемой ф-ии +(-) внутри некоторого промежутка, то ф-ия возрастает (убывает) на этом промежутке. f(x) Х, f’(x)>0 внутри Х, f(x) X, f’(x)<0 внутри Х.

Опр3. Интервалы, в кот данная ф-ия возрастает или убывает наз-ся интервалами монотонности этой ф-ии.

ПАРАГРАФ 4. Экстремум функции.

Опр4. Говорят, что ф-ия f(x) имеет в (.) а максимум(минимум), если в некот окрестности (.) а выполняется неравенство f(а)≥ f(в) (f(а)≤ f(в)). При этом (.) а наз-ся (.) мах(мин) ф-ии f(x) .

Опр5. Мах или мин ф-ии наз-ся экстремум ф-ии(с лат «крайнее»).

Теорема 5. I достаточное условие экстремума. Если через (.) х0 производная дифференцируемой ф-ии меняет знак 1. с +на- то х0-(.) мах, 2. с – на +, то х0-(.) мин.

Теорема 6. II достаточное условие экстремума. Пусть f(x) дважды дифф в (.) х0, причем f’(x0)=0, если при этом 1. f’’(x0)0, то х0-(.) мin.

Лекция 9. Исследование функции.

ПАРАГРАФ 1. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба ф-ии.

Опр1. График дифференцируемой ф-ии у= f(x) наз-ся выпуклым(вогнутым) в [a,b], если он расположен ниже(выше) касательной, проведенной к графику ф-ии в л. (.) этого интервала.

Замечание. График ф-ии в одних интервалах может быть выпуклым, в других вогнутым.

Теорема 1. (достаточное условие выпуклости(вогнутости) графика ф-ии) Пусть ф-ия f(x) дважды дифференцируема в интервале (a,b), тогда в этом интервале график ф-ии является 1.выпуклым, если f’’(x0)0в (a,b).

Опр2. Точкой перегиба графика дифференцируемой ф-ии у=f(x) наз-ся любая его точка, при переходе через которую выпуклость меняется на вогнутость и наоборот.

Замечание. Касательная в (.) перегиба разбивает график вблизи (.) перегиба на две части, лежащие по разные стороны от касательной.

Опр3. Точки, в кот вторая производная ф-ии у=f(x) равна 0 либо ∞ либо вовсе не сущ-т, наз-ся критическими (.) второго рода.

Теорема 2. (необходимое условие сущ (.) перегиба) Абсциссы точек перегиба графика ф-ии явл-ся критическими точками второго рода.

Теорема 3. Достаточное условие сущ-ия точки перегиба. Если для дважды дифференцируемой ф-ии f(x) (.) х0 является критической (.) второго рода и при переходе через эту (.) вторая производная f’’(x) меняет знак, то точка М0 (х0, f(x0)) является точкой перегиба.

ПАРАГРАФ 2. Асимптоты плоских кривых.

Опр4. Прямая L наз-ся асимптотой кривой у= f(x) если расстояние δ от переменной точки М на кривой до этой прямой стремится к 0 при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к ∞).

Классификация асимптот.

1.Вертикальные 2.Горизонтальные 3.Наклонные.

Описание каждого вида асимптот:

1.Прямая х=а явл-ся вертикальной ас кривой у= f(x) если lim f(x)=∞ или lim f(x)=∞ или lim f(x)=∞.

2.Прямая у=в явл горизонтальной асимптотой кривой у= f(x), если сущ конечный предел lim f(x)=в или lim f(x)=в.

3.Прямая у=kx+b яв-ся наклонной ас кривой у=f(x), если сущ два конечных предела lim f(x)/х=в lim [f(x)-kx]=в.

Замечание! Кривая (график ф-ии у= f(x))может иметь: 1. Несколько вертикальных асимптот. 2. Не более 2х горизонтальных либо наклонных асимптот(правой и левой).

Общая схема исследования ф-ии.

1. Находим ООФ(D(y)). 2.Исследуем ф-ию на четнось, нечетность, периодичность. 3.Исследуем ф-ию на непрерывность. 4. Находим (.) пересеч графика ф-ии с осями координат Ох и Оу. 5.Находим интервалы монотонности и экстремумы ф-ии. 6.находим интервалы выпуклости, вогнутости и (.) перегиба графика ф-ии. 7.Находим асимптоты графика ф-ии. 8. На основании проведенного исследования строим график ф-ии.

Замечание 1. Иногда целесообразно намечать элементы графика параллельно с исследованием.

Замечание 2. Порядок исследования можно менять исходя из конкретных особенностей данной ф-ии.

Лекция 10. Интегральное исчисление.

Неопределенный интеграл.

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции.

Интегральное исчисление решает обратную задачу, а именно задачу нахождения самой функции по её производной или дифференциалу.

ПАРАГРАФ 1. Первообразная и неопределенный интеграл.

Опр1:Функция F(x) наз-ся первообразной для функции f(x) на данном промежутке, если на этом промежутке F’(x)=f(x).

Замечание. Если для данной функции f(x) существует первообразная, то эта первообразная не является единственной.

Теорема 1. Если F¹(x) и F²(x) две первообразные для f(x) в некотором промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна постоянному числу.

Опр2:Нелпределенным интегралом от данной функции f(x) наз-ся множество всех её первообразных. Обозначается Sf(x)dx=F(x)+C, F’(x)=f(x), C – const.

Опр3: Отыскание неопределенного интеграла от некоторой функции наз-ся интегрированием этой функции.

Замечание. (геометрический смысл неопределенного интеграла)

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство параллельных кривых.

Теорема 2. (о существовании первообразной) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке для нее существует первообразная, а значит и неопределенный интеграл.

ПАРАГРАФ 2. Правила интегрирования.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторых функций равен этой функции + произвольная постоянная.

4. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

5. Неопределенный интеграл от суммы(разности) двух функций равен сумме (разности) неопределенных интегралов от этих функций.

6. Инвариантность формы неопределенного интеграла (переменной интегрирования может быть не только независимая переменная, но и функция).

ПАРАГРАФ 3. Непосредственное интегрирование.

Суть метода непосредственного интегрирования состоит в приведении подынтегрального выражения к табличному виду путем преобразований и применения свойств неопределенного интеграла

Замечание.! Свойства инвариантности формы неопределенного интеграла позволяет значительно расширить таблицу основных интегралов с помощью приемов подведения функции под знак дифференциала, т. е. преобразование данного интеграла к виду Sf(φ(x)) φ’(x)dx=Sf(u)du.

Лекция 11. Основные методы интегрирования.

ПАРАГРАФ 1. Метод замены переменной.

Теорема 1. !!! Пусть:

1.x=φ(t) – монотонная непрерывно дифференцируемая функция от аргумента t

2.y=f(x) непрерывная функция от аргумента x, тогда справедлива формула

Sf(x) dx=Sf (φ(t)) φ’(t)dt

Формула замены переменной в неопределенном интеграле.

Замечание. Иногда вместо подстановки x= φ(t) лучше использовать подстановку вида t=ψ(x)

Замечание. Вопрос о том, какова вида подстановку следует выбрать решается отдельно для каждого конкретного случая, главное чтобы в результате подстановки интеграл упростился.

Замечание. Прием подведения ф-ии под знак дифференциала является частным случаем метода замены переменной.

ПАРАГРАФ 2. Метод интегрирования по частям.

Теорема 2. ! (формула интегрирования по частям) Пусть u=u(x) и v=v(x) непрерывно дифференцируемые ф-ии, тогда справедлива формула

Sudv=uv-Svdu

Замечание!!! Формула интегрирования по частям чаще всего применяется тогда, когда интегрируемая функция равна произведению степенной функции на трансцендентную, при этом в качестве u берется такая ф-ия, которая при дифференцировании наиболее упрощается.

ПАРАГРАФ 3. Интегрирование рациональных дробей.

Опр1. Рациональной ф-ей или рац. дробью наз-ся отношение двух многочленов

Опр2. Рац. дробь наз-ся правильной, если степень многочлена в числителе ниже, чем степень многочлена в знаменателе, в противном случае дробь наз-ся неправильной.

Теорема 3. О разложении неправильной рациональной дроби.

Всякую неправильную рациональную дробь P(x)/Q(x) можно представить в виде суммы многочлена и правильной рац. дроби(путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов)

Опр3. Простейшими дробями наз-ся пр. дроби следующего вида: I. A/x-a II.A/(x-a)ⁿ, n-целое число >=2, III. Bx+C/x²+px+q где знаменатель не имеет действительных корней. IV. Bx+C/(x²+px+q) ⁿ, m-целое число >=2, знаменатель не имеет действительных корней.

Перечисленные дроби будем называть простейшими дробями I,II,III,IV типов.

Теорема 4. (о разложении прав. рац. дроби на прост) Если P(x)/Q(x) пр. рац. дробь и Q(x)= (x-a)*…* (x²+px+q)*…, где(x²+px+q) не имеет действительных корней, то справедлива формула P(x)/Q(x)= A/x-a+ A/x-a+… A/x-a+…+ Bx+C/x²+px+q+ Bx+C/x²+px+q+… Bx+C/x²+px+q+…

Замечание. Коэффициенты А , А ,…, А ,…, В , С , В , С , …, В , С тождественно в равенстве (*) находятся методом неопр коэфиц, который состоит в следующем:

1. приводим дроби в равенстве к общему знаменателю и знаменатель отбрасываем. В результате получаем тождественное равенство двух многочленов.

2. Приравниваем коэф при одинаковых степенях многочленов, тем самым получаем систему линейных уравнений для определения неизвестных коэффициентов.

Замечание! Для получения системы уравнений с неизвестными коэф можно так же в тождестве многочленов придавать различные частные значения.

Порядок интегрирования рац. дробей.

1. Если дробь непр, то её представляют в виде суммы многочлена и пр рац дроби.

2. Разлагают знаменатель пр рац дроби на множитель вида (x-a)…..

3. Пр рац дробь разлагают на сумму простейших, применяя метод неопр коэф

4. Интегрируют полученное разложение исходной дробью.

Лекция 12. Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических и тригонометрических ф-ий.

ПАРАГРФ 1. Интегрирование иррациональных ф-ий.

Не от всякой иррациональной ф-ии интеграл выражается через элементарные ф-ии , в связи с чем мы рассмотрим лишь некоторые иррациональные ф-ии , интегралы от которых рационализируются, т.е. приводятся к интегралу от рац ф-ии и следовательно до конца интегрируются.

Виды интегралов и порядок их нахождения:

1. Интегралы вида SR(x, (ax+b), (ax+b))dx R- рациональная ф-ия, m, n, m, n- R.

Находятся с помощью подстановки ax+b=k, k- НОК чисел n, n …

2. Интегралы вида SR[x, (ax+b/ax+b), (ax+b/ax+b),…]dx R- рациональная ф-ия, m, n, m, n- R. Находятся с помощью подстановки (ax+b/ax+b)=k, k- НОК чисел n, n …

3. Интегралы вида Sdx/(ax +bx+c)^2 Находятся путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена ax +bx +c

4. Интегралы вида Sdx/(x- α) (ax +bx+c)^2 приводятся к интегралам вида Sdx/(ax +bx+c)^2 с помощью подстановки x- α=1/t

ПАРАГРАФ 2. Интегрирование тригонометрических ф-ий.

1. Интегралы вида SR(sinx, cosx)dx, где R- рациональная ф-ия. Интегралы указ вида рацион с помощью т. наз универсальной тригонометрической подстановки t=tg(x/2). В результете этой подстановки имеем sinx=2t/1+t² cosx=1-t²/1+t² x=arctgt dx=2dt/1+t²

Замечание! УТП t=tg(x/2) во многих случаях приводит к сложным вычислениям. Однако в некоторых частных случаях нахождение интегралов вида SR(sinx, cosx)dx может быть упрощено:

Случай 1. 1.SR(-sinx, cosx)dx= -SR(sinx, cosx)dx (R-нечетная ф-ия относительно sinx), то применятеся подстановка cosx=t

2. SR(sinx, -cosx)dx= -SR(sinx, cosx)dx (R-нечетная ф-ия относительно cosx) то sinx=t

3. SR(-sinx, -cosx)dx= SR(sinx, cosx)dx (R-четная ф-ия относительно sinx и cosx), то применяется подстановка tgx=t b ctgx=t

Случай 2. Интегралы вида Ssinx*cosxdx Здесь возможны два случая:

1. по крайней мере один из показателей m или n нечетное положительное число:

А)m- н.п.ч., то применяется подстановка cosx=t

Б)n- н.п.ч., то применяется подстановка sinx=t

2.Оба показателя степени четные неотрицательные числа, тогда подынтегральную ф-ию преобразуют с помощью формул sinx*cosx=1/2sin2x sin²x=1/2(1-cos2x) cos²x =1/2(1+cos2x)

Случай 3. Интегралы вида Ssinax*cosbxdx Scosax*cosbxdx Ssinax*sinbxdx Для данных интегралов применяют следующие формулы

Замечание(о «неберущихся» интегралах) Существуют элементарные ф-ии для которых первообразные эл ф-ями не являются. По этой причине соответствующие интегралы наз «неберущимися» в элементарных ф-ях, например Se dx, Ssinx²dx, Ssinx/xdx, Scosx/xdx, Sdx/lnx… Данные интегралы существуют, но они не выр-ся в элементарных ф-ях.

Лекция 13. Определенный интеграл.

ПАРАГРАФ 1. Понятие определенного интеграла.

Пусть ф-ия f(x) [a,b], выполним следующие действия: 1.Разобьем отрезок [a,b] точками a=x0

Опр1. Интегральной суммой для ф-ии f(x) [a,b] наз-ся сумма вида σn=Σ ƒ(τк)∆xk

Замечание! Интегральная сумма зависит от:

1. Способа разбиения отрезка на частичные отрезки 2. Способа выбора точек τк на каждом из частичных отрезков

Геометрический смысл интегральной суммы.

Инт с выражает S ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников со сторонами ∆x1 и ƒ(τ1), ∆x2 и ƒ(τ2),…, ∆xn и ƒ(τn). Обозначим через λ длину наибольшего из частичных отрезков, т.е. λ=max∆xk 1<=k<=n

Опр2! Определенным интегралом от ф-ии f(x) [a,b] наз-ся её предел интегральной сумы при условии, что наибольший из её частичных отрезков стремится к 0, а сам lim не зависит не от способа разбиения отрезка [a,b] на частичные отрезки, ни от способа выбора точек τк в каждом из них. При этом пишут: Sf(x) dx=lim Σ ƒ(τк)∆xk

Опр3. Если в равенстве lim существует, то ф-ия f(x) наз-ся интегрируемой на отрезке [a,b].

Замечание. Опр интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования , т.е.

Теорема 1. (о сущ. опр интеграла) Если ф-ия f(x) непрерывна на [a,b], то на этом отрезке она интегрируема, т.е. для неё сущ определенный интеграл.

Теорема 2. Если ф-ия f(x) интегрируема на [a,b], то она будет интегрируема и на любом другом отрезке [c,d], который содержится в данном.

ПАРАГРАФ 2. Геометрический смысл определенного интеграла.

Если ф-ия y=f(x) непрерывна и не отрицательна на [a,b], то опр интеграл Sf(x) dx геометрически представляет собой S криволинейной трапеции- фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=a, x=b, y=0.

ПАРАГРАФ 3. Осн св-ва опр интеграла.

1. Sf(x) dx=0

2. Scf(x) dx=c Sf(x) dx, c-const

3. S[f1(x)±f2(x)] dx= Sf1(x) dx± Sf2(x) dx

4. Sf(x) dx=- Sf(x) dx

5. Sf(x) dx= Sf(x) dx+ Sf(x) dx равенство справедлива при любом расположении точек a,b,c.

6. Если ф-ия f(x) и φ(x) интегрируемы на отрезке [a,b], где a<=b и f(x)<= φ(x) ұ x ε [a,b], то Sf(x) dx<= S φ (x) dx

7. Если ф-ия f(x) четная Sf(x) dx =2 Sf(x) dx, f(x)- неч Sf(x) dx=0

Теорема 3. (о среднем значении) Если ф-ия f(x) непрерывна на [a,b], то на этом отрезке найдется такая точка с, что справедлива след рав-ве Sf(x) dx=(в-ф)f(c) при этом f(c) наз-ся средним значением ф-ии f(x) на [a,b].

ПАРАГРАФ 4. Интеграл с переменным верхним пределом.

Опр4. Пусть ф-ия у=f(x) интегрируема на [a,b], тогда ф-ия Φ(x)= Sf(t) dt где x ε [a,b], наз-ся интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 4. Если ф-ия f(x) непрерывна на [a,b], то интеграл с переменным верхним пределом Ф(x) будет дифференцируемой ф-ей на [a,b] причем Ф’(x)=( Sf(t) dt=f(x)) ұ x ε [a,b]

Следствие интеграл с переменным верхним пределом Ф(х)= Sf(t) dt является первообразной ф-ей для ф-ии f(x) на [a,b].

Лекция 14. Методы счисления определенного интеграла.

ПАРАГРАФ 1. Формула Ньютона-Лейбница.

Вычисление опр интеграла как предела сложно даже для простейших ф-ий. Формула Ньютона-Лейбница позволяет установить простой способ вычисления опр интегралов линии суммирования и перехода к пределу.

Теорема 1! (Формула Ньютона-Лейбница) Если ф-ия f(x) непрерывна на [a,b], а ф-ия F(x) есть любая первообразная для ф-ии f(x) на этом отрезке, то справедлива формула Sf(x)dx=F(b)-F(a).

Замечание1. Формула НЛ устанавливает связь между определенным и неопределенным интегралом.

Замечание2. Для краткости записи используют обозначения: F(x)| =F(b)-F(a), где символ | называется знаком двойной подстановки.

ПАРАГАФ 2. Замена переменной в определенном интеграле.

Теорема 2. Пусть: 1. ф-ия f(x) непрерывна на [a,b]. 2. ф-ия x=φ(t) непрерывно-диффер на [α,β]. 3. φ(α)=a, φ(β)=b

Тогда справедлива формула Sf(x)dx= Sf[φ(t)]φ’(t)dt

Замечание1. При вычислении опр интеграла по данной формуле можно не возвращаться к старой переменной.

Замечание2. Часто вместо замены переменной x=φ(t) используют обратную замену t=ψ(x).

ПАРАГРАФ 3. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема 3. Пусть u=u(x) и v=v(x) непрерывно диффер ф-ии на отр [a,b], тогда справедлива формула Sudv=uv| -Svdu.

Замечание! Термин «непрерывно дифференцируемая ф-ия» означает, что сама ф-ия и её производная непрерывны.

ПАРАГРАФ 4. Приближенное вычисление определенного интеграла.

Не для всякой непрерывной ф-ии её первообразная выр через элемент ф-ии. В этом случае вычисление опр интегралов через формулу НЛ затруднительно. И поэтому применяют различные методы приближенного вычисления опр интегралов. Рассмотрим один из этих методов, а именно- метод Симпсона.

Суть метода:

1. отрезок [a,b] разбивается на четное число равных частичных отрезков точками a=x0<=x1<=x2<=…<=xn-1<=xn=b n=2m

2. В пределах первых двух отрезков [x0,x1], [x1,x2] ф-ия f(x) заменяется параболой y=ax²+bx+c. При этом коэффициенты a,b и с находятся из системы линейных уравнений:

Ax +bx+c=f(x)

Ax +bx+c=f(x)

Ax +bx+c=f(x)

3. Аналогичные параболы строятся и для других отрезков.

Сумма площадей параболических трапеций и составляет приближенное значение интеграла, т.е. Sf(x)dx≈h/3[y+y+4(y+y+…+y )+2(y+y+…+y )]. Формула Симпсона или формула парабол. Здесь: h=b-a/n - шаг разбиения отрезка [a,b], у= f(x) i=1,2,…,n, x=a+ih i=1,2,…,n- точки деления отрезка [a,b].

Замечание. Приближенная абсолютная погрешность формул Симпсона, т.е. абсолютная величина разности между точным и приближенным значением интеграла задается неравенством R <=h /180(b-a)max|f (x)|.

ПАРАГРАФ 5. Вычисление площадей плоских фигур.

1. S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком ф-ии y=f(x) слева и справа прямыми x=a, x=b, снизу осью Ох.

2. S криволинейной трапеции, ограниченной справа графиком ф-ии х=φ(x) снизу и сверху прямыми у=a, у=d, слева осью Оу. S=Sφ(y)dy.

3. S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком ф-ии y =f (x) и снизу графиком ф-ии у=f (x), слева и справа прямыми x=a, x=b. S=S[f (x )-f (x )]dx

4. S криволинейной трапеции, ограниченной справа графиком ф-ии х =φ (x), слева гр ф-ии x =φ (y), снизу и сверху прямыми у=a, у=d. S=S[φ (y)- φ (y)]dy.

5. S фигуры, ограниченной сверху кривой, заданной параметрически

x=φ(t),

y=ψ(t), t <=t<=t

S=Sψ(t)φ’(t)dt.

Лекция 15. Несобственные интегралы. Ф-ии нескольких переменных.

При определении опр интеграла Sf(x)dx ми предполагали:

1. Промежуток [a,b] конечен 2. Ф-ия f(x) ограничена на [a,b]

Такой опр интеграл наз-ся собственным. Слово собственный обычно опускается. Если нарушается хотя бы одно из этих двух условий, то опр интеграл наз-ся несобственным.

ПАРАГРАФ 1. Интегралы с бесконечными пределами.

Опр1. Несобственным интегралом от ф-ии f(x) на [a,+∞] наз-ся limSf(x)dx. При этом пишут Sf(x)dx=lim Sf(x)dx. Если указанный предел сущ-т и конечен, то несобств интеграл наз-ся сходящимся.

Замечание. Геометрически несобственный интеграл представляет собой S бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной линиями х=а у=0 у=f(x).

Замечание! Аналогичным образом определяется несобств интеграл и для других бесконечных промежутков. Sf(x)dx=lim Sf(x)dx Sf(x)dx= Sf(x)dx+ Sf(x)dx с-любая внутр точка. При этом если каждый из двух интегралов, стоящих справа сходится, то сходится по опр и интеграл, стоящий слева.

ПАРАГРАФ 2. Интегралы от неограниченных ф-ий.

Опр2. Пусть ф-ия f(x) непрерывна на полуинтервале [a,b) и в (.) b имеет бесконечный разрыв, т.е. limf(x)=∞, тогда несобственный интеграл от ф-ии f(x) на [a,b] наз-ся limSf(x)dx, ε>0 При этом пишут: Sf(x)dx= limSf(x)dx Если указанный предел сущ и конечен, то несобственный интеграл наз-ся сходящимся, в противном случае расходящимся.

Замечание! Если ф-ия f(x) имеет бесконечный разрыв на левом конце отрезка [a,b], то по опр полагают Sf(x)dx= limSf(x)dx

Замечание! Если ф-ия имеет разрыв в некоторой внутренней (.) с отр [a,b], то полагают Sf(x)dx= Sf(x)dx+ Sf(x)dx При этом интеграл Sf(x)dx считается сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла, стоящих в правой части, в противном случае Sf(x)dx наз-ся расходящимся.

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

ПАРАГРАФ 1. Основные понятия.

Опр1. Пусть имеется n переменных величин и каждому набору их значений (х1,х2,…,хn) из некоторого мн-ва Х соответствует одно вполне опр значение переменной вел-ны z. Тогда говорят, что задана ф-ия нескольких переменных z=f(x1,x2,…,xn). При этом переменные x1,x2,…,xn наз-ся независимыми переменными или аргументами, z-зависимой переменной, f – закон соответствия, Х- областью опр ф-ии и обозн D(z).

Опр2.Графиком ф-и z=f(x,y) наз-ся множество G(z)=z=f(x,y),(x,y)εD(z) Графиком ф-ии z=f(x,y) представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве.

ПАРАТРАФ 2. Предел и непрерывность функции двух переменных.

Опр3. Окрестностью (.) на плоскости наз-ся любой круг с центром в данной точке за исключением его границ(открытый круг).

Опр4. Число А наз-ся пределом ф-ии z=f(x,y) при х→х0 и у→у0(или в (.) ч0, у0), если для любого числа ε0 : выполн нер-во

|f(x,y)-A|<ε при 0<((x-x0)²-(y-y0)²)^½<δ. При этом пишут: А=limf(x,y)

Замечание. Величина ρ=((x-x0)²-(y-y0)²)^½ есть расстояние между точками (х,у) и (х0,у0) на плоскости.

Опр5. Ф-ия z=f(x,y) наз-ся непрерывной в (.) х0, у0, если: 1. Она определена в (.) (х0,у0). 2. Сущ конечный предел в (.) (х0,у0). 3. Этот lim = знач ф-ии в (.) (х0,у0), limf(x0,y0)=f(x0,y0).

ПАРАГРАФ 3. Частные производные.

Опр6. Разности ∆ z=f(x+∆x,y)- f(x,y) ∆ z=f(x,y+∆y)-f(x,y) наз-ся частным приращением ф-ии z=f(x,y) в (.) (х,у) по переменной х и у соответственно.

Опр7. Частной производной ф-ии z=f(x,y) по переменной х наз-ся предел отношения частного приращения ф-ии по переменной х к приращению ∆х, когда последний стремится к 0. При этом пишут ∂z/∂x=lim∆ z/∆x.

Замечание! Аналогично определяется и обозначается частная произ ф-ии z=f(x,y) по переменной у.

Замечание! 1. Частные производные также обозн символ z’, z’, f’(x,y), ∂f/∂x, ∂f/∂y. 2. Для частных производных справедливы обычн правила и формы дифф-ия. 3. При вычисл частной произв ф-ии неск переменных по какой-то одной переменной другие перемен считаются постоянными.


Другие страницы сайта


Для Вас подготовлен образовательный материал Лекция 2. Числовая последовательность.

5 stars - based on 220 reviews 5
  • Введение
  • Групи з'єднань трифазних трансформаторів
  • Введение
  • Информационно-просветительнаяи рекреационно-оздоровительная деятельность за рубежом
  • Для определения величины изображенного изделия и его элементов служат размерные числа, нанесенные на чертеже.
  • Валютные риски
  • ВВЕДЕНИЕ
  • В конец. Сынам Кореевым. Псалом.