Максимум и минимум функций Главная страница сайта Об авторах сайта Контакты сайта Краткие содержания, сочинения и рефераты

Максимум и минимум функций


.

Читать реферат для студентов

Определение. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой точке больше значений f(x1 +D x) < f(x1) во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Функция f(x) имеет в точке х2 минимум, если f(x2 +Dx) > f(x2) при любом D х (D х может быть и отрицательным).

Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь локальный максимум (локальный минимум) только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Необходимо различать максимум (минимум) функции и её наибольшее (наименьшее) значение на отрезке – это понятия принципиально различные.

Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Теорема (необходимое условие существования экстремума). Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Доказательство. Предположим, что функция f(x) имеет в точке х = х1 максимум. Тогда при достаточно малых положительных D х > 0 верно неравенство:

, т.е.

Тогда

По определению:

.

Т.е. если D х ® 0, но D х < 0, то f¢(x1) ³ 0, а если D х ® 0, но D х > 0, то f¢(x1) £ 0.

А это возможно только в том случае, если при D х ® 0 f¢(x1) = 0.

Для случая, если функция f(x) имеет в точке х2 минимум теорема доказывается аналогично. Теорема доказана.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Теорема (достаточные условия 1 существования экстремума).Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х1). Тогда если при переходе через точку х1 слева направо производная функции f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х1 функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.

Доказательство. Пусть

По теореме Лагранжа: f(x) – f(x1) = f¢(с)(x – x1), где x < с < x1.

Тогда: 1) если х < x1, то с < x1; f¢(с) > 0; f¢(с)(x – x1) < 0, следовательно

f(x) – f(x1) < 0 или f(x) < f(x1).

2) если х > x1, то с > x1 f¢(с) < 0; f¢(с)(x – x1) < 0, следовательно

f(x) – f(x1) < 0 или f(x) < f(x1).

Таким образом, значение функции f(x) в точке х1 является наибольшим на интервале , т.е. f(x) < f(x1) в всех точках вблизи х1. Это означает, что х1 – точка максимума.

Доказательство теоремы для точки минимума производится аналогично.

Теорема (достаточные условия 2 существования экстремума).Если в точке х1 первая производная функции f(x) равна нулю ( f¢(x1) = 0), а вторая производная в точке х1 существует и отлична от нуля ( f¢¢(x1) ≠ 0), то функция f(x) в точке х = х1 имеет максимум, если f¢¢(x1) < 0 и минимум, если f¢¢(x1) > 0.

Доказательство. Пусть f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1) < 0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х1.

Т.к. f¢¢(x) = (f¢(x))¢ < 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х1, но f¢(x1) = 0, т.е. f¢(x) > 0 при х < x1 и f¢(x) < 0 при x > x1. Это и означает, что при переходе через точку х = х1 производная f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, т.е. в этой точке функция f(x) имеет максимум.



Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично.

Если f¢¢(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.


Другие страницы сайта


Для Вас подготовлен образовательный материал Максимум и минимум функций

5 stars - based on 220 reviews 5
  • Глава 12
  • Психика, поведение, деятельность
  • Как говорить, чтобы дети слушали, и как слушать, чтобы дети говорили
  • ЖҰҚПАЛЫ АУРУЛАР БОЙЫНША 2013-2014 ОҚУ ЖЫЛЫНДАҒЫ ИНТЕРНАТУРАҒА АРНАЛҒАН ТЕСТТІК ТАПСЫРМАЛАР 5 страница
  • ДОВГОЧАСНЕ ЗБЕРІГАННЯ
  • Екологічне значення лісів
  • Жизненный и митотический (пролиферативный) цикл клетки. Фазы митотического цикла, их характеристика и значение.
  • ЖҰҚПАЛЫ АУРУЛАР БОЙЫНША 2013-2014 ОҚУ ЖЫЛЫНДАҒЫ ИНТЕРНАТУРАҒА АРНАЛҒАН ТЕСТТІК ТАПСЫРМАЛАР 3 страница